Ingegneria e prefabbricazione

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ENGISOFT

    DOTT. ING. FABIO PINARDI

Albo collaudatori Regione Lombardia n. 2166 
 Albo consulenti tecnici Tribunale Brescia n. 304 
 
INGEGNERIA SOFTWARE e PREFABBRICAZIONE - ENGINEERING SOFTWARE AND PRECASTING

software generale engisoft

Programma LASTRE

Funzione: Il programma esegue il calcolo dalle sollecitazioni e delle deformazioni in lastre rettangolari inflesse comunque vincolate sui bordi da appoggi o incastri e caricate da uno o più segmenti rettangolari di carico aventi lati paralleli ai bordi della lastra.

Il calcolo viene effettuato mediante l’impiego del metodo delle differenze finite e consente l’uso di reticoli sufficientemente fitti per l’approssimazione numerica dei risultati.

Sistema richiesto: Macchina base.

Descrizione del programma: Il programma dotato di figura illustrativa iniziale dei dati geometrici della lastra e del sistema di riferimento Oxy assunto, chiede preliminarmente all’operatore di assegnare le seguenti quantità:

— Lunghezza della lastra (parallelamente all’asse x)

— Larghezza della lastra (parallelamente all’asse y)

— Spessore della lastra

— Modulo elastico del materiale

— Coefficiente di contrazione trasversale

Fissate che siano tali quantità, al fine di definire la situazione di vincolamento, viene associato a ciascun tipo di vincolo possibile un codice numerico. Compaiono infatti sul visore le scritte:

— Incastro = 1; Appoggio = O

e, successivamente le richieste:

— Vincolamento lato y O?
— Vincolamento lato y B?
— Vincolamento lato x O?
— Vincolamento lato x A?

che, facendo uso dei codici numerici prima definiti, consentono di fissare la situazione di vincolamento della lastra.

Tenendo presenti infatti tali convenzioni, la situazione di vincolamento illustrata a titolo esemplificativo in fig. 1. risulta essere descritta come segue:

— Vincolamento lato y = O? 1

— Vincolamento lato y = B? O

— Vincolamento lato x = O? 1

— Vincolamento lato x = A? O

ed, in modo analogo, può essere descritta qualunque altra situazione di vincolamento che preveda al contorno incastri ovvero appoggi comunque disposti.

Fornite che siano tali quantità, inizia l’input dei dati del reticolo di calcolo che l’operatore intende assumere per l’applicazione del metodo delle differenze finite.

Viene infatti richiesta l’assegnazione dei due seguenti dati:

— Numero di dividenti parallele ad y

— Numero di dividenti parallele ad x

Assegnando quindi ad esempio i valori numerici 5 e, rispettivamente 3 a tali quantità, il reticolo di calcolo viene ad essere configurato come illustrato in fig. 2.

 

 

Se pertanto "m" denota il numero di dividenti parallele ad y ed "n" il numero di dividenti parallele ad x, la lastra viene suddivisa in m + 1 intervalli secondo l’asse x ed in n + 1 intervalli secondo l’asse y.

Il numero di punti del reticolo dl calcolo, includendo i punti disposti sul contorno, risulta pertanto essere pari al prodotto (m + 2) (n + 2). A ciascuna delle rette parallele ad y, ivi inclusi i due lati estremi, viene allora associato un valore numerico variabile da O per lato x = O ad m + 1 per il lato x = A. Analogamente, a ciascuna delle rette parallele ad x viene associato un valore numerico variabile da O per il lato y O ad n + 1 per il lato y = B. Un qualunque nodo del reticolo di calcolo viene così individuato da una coppia di numeri "i, j" di cui il primo variabile tra O ed m + 1 ed il secondo variabile tra O ed n + 1. La fig. 3 illustra ad esempio i codici numerici dei 35 nodi del reticolo precedentemente illustrato in fig.2.

Ciò precisato, assegnate che siano le caratteristiche del reticolo di calcolo, inizia l’input dei dati di carico della trave. In tale ordine di idee viene preliminarmente richiesto all’operatore di assegnare il numero globale di segmenti rettangolari di carico uniforme cui la lastra è soggetta attraverso la richiesta:

— Numero dei carichi = ?

e, successivamente, per ciascuno di essi, viene richiesto di fornire, conformemente a quanto illustrato in fig. 4,i seguenti dati:

— Intensità del carico per unità di superficie

— Ascissa x1

— Ascisse x2

— Ordinata y1

— Ordinata y2

Si rileva a tal proposito che non è affatto necessario che i contorni di ciascun segmento rettangolare di carico coincidano con dividenti del reticolo prescelto poiché la riduzione del carico ai nodi viene effettuata tenendo presente la possibile assenza di coincidenza tra contorno del carico e dividenti del reticolo. Effettuata che si sia l’assegnazione delle caratteristiche del carico, inizia infatti con la visualizzazione della frase

— Riduzione del carico ai nodi

l’operazione suddetta e, successivamente, con la visualizzazione della frase:

— Calcolo della lastra

il vero e proprio calcolo delle deformazioni e delle sollecitazioni nella lastra in esame.

Il termine di quest’ultima elaborazione è segnalato dall’apparire delle frasi:

— Calcolo effettuato

— Tempo di calcolo espresso in sessantesimi di secondo

Inizia a questo punto con la visualizzazione della frase:

— Visualizzazione risultati

— Indici I, J del nodo?

la visualizzazione degli spostamenti e delle sollecitazioni nella lastra durante la quale all’operatore è richiesto soltanto di assegnare la coppia di numeri che individuano il nodo del reticolo e l’elaboratore visualizza in risposta, e relativamente al nodo assegnato, le seguenti quantità:

— Spostamento w ortogonale al piano della lastra (positivo se verso il basso)

— Rotazione rx della fibra parallela all’asse x passante per il nodo in esame (positiva come in fig. 5a)

— Rotazione ry della fibra parallela all’asse y passante per il nodo in esame (positiva come in fig. 5a)

— Momento flettente Mx (positivo se tende le fibre inferiori)

— Momento flettente My (positivo se tende le fibre inferiori)

— Momento torcente Mxy (positivo come in fig. 5b)

— Sforzo tagliente Tx (positivo come in fig. 5)

— Sforzo tagliante Ty (positivo come in fig. 5)

Al termine di ciascun blocco di risultati viene posta all’operatore la richiesta:

— Vuoi continuare?

che, in relazione alla risposta ottenuta consente o la visualizzazione dei risultati in un nuovo nodo del reticolo, ovvero il termine del ciclo di visualizzazione.

In quest’ultima eventualità viene visualizzata l’ulteriore richiesta:

— Altre condizioni di carico?

che, in caso di risposta affermativa consente di esaminare per la stessa lastra, con lo stesso reticolo di calcolo, una nuova situazione di carico, ed in caso di risposta negativa conclude l’esecuzione del programma.

Limitazioni: Indicando come in precedenza con "m" il numero delle dividenti parallele ad y e con "n" il numero delle dividenti parallele ed x, il programma in questione può calcolare reticoli che soddisfino la diseguaglianza:

15 (m + 2) (n + 2) < 2692

che deriva dalla disponibilità di memoria della macchina base nella sue configurazione ad 8K.

I tempi di calcolo sono ovviamente notevolmente variabili in dipendenza del numero di nodi del reticolo e possono passare dai minuti all’ora passando dai reticoli con pochi nodi ai reticoli prossimi a quelli massimi accettabili dalla macchina nella sua configurazione base.

Ovviamente la precisione dei risultati è tanto maggiore quanto più fitto è il reticolo. Si rileva peraltro che adottando reticoli prossimi a quelli limite la precisione dei risultati è in genere più che sufficiente per i fini tecnici.

Test: il programma può essere testato facendo riferimento al caso illustrato in fig. 6 di una lastra quadrata in cemento armato di spessore pari a 20 cm soggetta ad un carico uniforme di 500 kg/m2 agente ovunque e ad un carico accidentale di 4,5 t uniformemente ripartito sul rettangolo segnato in figura.

Si assume peraltro che il modulo elastico del materiale sia eguale a 250.000 kg/cm2 ed il coefficiente di contrazione trasversale a 0,1.

Ciò premesso, l’input dei dati preliminari può essere effettuato come segue:

—Lunghezza A = 600 (cm)

— Larghezza B = 600 (cm)

— Spessore S = 20 (cm)

— Modulo elastico E = 250.000 (kg/cm2)

— Coefficiente K = 0,1

e la situazione di vincolamento può essere descritta nel seguente modo:

— Vincolamento lato y = 0? 1

— Vincolamento lato y = B? O

— Vincolamento lato x = O? 1

— Vincolamento lato x = A? O

Le caratteristiche del reticolo di calcolo vengono prescelte come segue:

— Numero di dividenti parallele ad y = 5

— Numero di dividenti parallele ad x = 5

e si ottiene così il reticolo indicato in fig. 7 ove peraltro sono stati segnati anche i numeri d’ordine delle linee di tale reticolo in modo da poter individuare, per intersezione, la coppia di numeri che individua il codice numerico di ogni nodo.

Inizia a questo punto l’input dei carichi che, conformemente a quanto detto in precedenza, richiede preliminarmente la seguente assegnazione:

— Numero dei carichi = 2

Successivamente, il carico n. 1 va descritto come segue:

— Intensità carico = #9; #9; 0,05 (kg/cm2)

— Ascissa x1 =0 (cm)

— Ascissa x2 = 600 (cm)

—Ordinata y1 =0 (cm)

—Ordinata Y2 = 600 (cm)

ed il carico n. 2, effettuata che sia dal computer la riduzione ai nodi del carico n. 1, va descritto come segue:
— Intensità carico = 0,10 (kg/cm2)
— Ascissa x, = 300 (cm)
— Ascissa x2 = 450 (cm)
— Ordinata y1 = 150 (cm)
— Ordinata Y2 = 450 (cm)
Effettuata la riduzione ai nodi anche di tale carico, compare sul visore la frase:

— Calcolo della lastra

cui fanno seguito, dopo 3 minuti primi circa, le seguenti scritte:

— Calcolo effettuato

— Tempo di calcolo = 9913/60 sec.

— Visualizzazione dei risultati

— Indici I, J del nodo?

Si supponga allora, conformemente a quanto illustrato in fig. 7 di voler visualizzare i risultati nei tre nodi P, Q, R. I codici numerici ditali nodi risultano evidentemente essere:

P (3,3), Q (0,3), R (3,0)

I risultati relativi al punto P si ottengono pertanto rispondendo 3,3 (l’elemento separatore dei due numeri è la virgola) alla ultima richiesta posta dal computer. Così facendo devono essere immediatamente visualizzati i seguenti risultati:
— Spostamento w = 0,143947561 (cm)
— Rotazione rx = 1 ,96657692E-04 (rad)
— Rotazione ry = 1,17604478E-04 (rad)
— Momento Mx = 804,07911 (kgcm/cm)
— Momento My = 814,635363 (kgcm/cm)
— Momento Mxy = — 16,4852469 (kgcm/cm)
— Taglio Tx = 4,0429101 (kg/cm)

— Taglio Ty = 1,83494934 (kg/cm)
Rispondendo ora "si" alla richiesta:

— Vuoi Continuare?

e, successivamente, fornendo come codice numerico del nodo la coppia di numeri 0,3, devono essere visualizzati per il punto O i seguenti risultati:

— Spostamento w = O (cm)
— Rotazione rx = O (rad)
— Rotazione ry = O (rad)
— Momento Mx = — 1458,74673 (kgcm/cm)

— Momento My = O (kgcm/cm)
— Momento Mxy = 0 (kgcm/cm)
— Taglio Tx = 14,0304526 (kg/cm)
— Taglio Ty = 0 (kg/cm)
Rispondendo nuovamente "si" alla richiesta:
— Vuoi continuare?
e fornendo successivamente come codice numerico del nodo la coppia di numeri 3,0, i risultati relativi al punto R devono presentarsi come segue:
— Spostamento w = O (cm)
— Rotazione rx = O (rad)
— Rotazione ry = O (rad)
— Momento Mx = O (kgcm/cm)
— Momento My = —1613,78641 (kgcm/cm)
— Momento Mxy = O (Kgcm/cm)
— Taglio Tx = 0 (kg/cm)
— Taglio Ty = 16,0904719 (kg/cm)
Si risponda ora negativamente alla richiesta:

— Vuoi continuare?

e si controlli l’immediato apparire della domanda:

— Altre condizioni di carico?

che, a seguito di risposta negativa, conclude il test in esame.

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